Cumulant-generating Function

定义 Definition

累积量生成函数（cumulant-generating function, CGF）是概率论与统计中用来描述随机变量分布的一种函数，通常定义为随机变量 \(X\) 的矩母函数（MGF）的对数：
\[ K_X(t)=\log \mathbb{E}\left[e^{tX}\right] \] 它的一个重要性质是：对 \(K_X(t)\) 在 \(t=0\) 处求导，可以得到各阶累积量（cumulants）（如均值、方差以及更高阶的偏度相关量等）。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈkjuːmjʊlənt ˈdʒɛnəreɪtɪŋ ˈfʌŋkʃən/

例句 Examples

The cumulant-generating function helps summarize a distribution’s key properties.
累积量生成函数有助于概括一个分布的关键性质。

In large-deviation theory, researchers often analyze the cumulant-generating function to derive exponential tail bounds and asymptotic probabilities.
在大偏差理论中，研究者常通过分析累积量生成函数来推导指数型尾界与渐近概率。

词源 Etymology

cumulant源自“cumulative（累积的）”这一概念，强调把信息“累加”起来刻画分布特征；“累积量”一词在统计学中用于指代与矩（moments）相关但在可加性等性质上更便利的一组量。generating function（生成函数）在数学里指“用一个函数把一串数（如矩或累积量）编码进去”，而CGF用“对数 + 指数矩”的形式，把累积量系统地“生成”出来。

相关词 Related Words

• Cumulant
• Moment-generating Function
• Characteristic Function
• Laplace Transform
• Exponential Family
• Large Deviations
• Logarithm

文学与名著用例 Literary Works

• Harald Cramér：《Mathematical Methods of Statistics》——在经典数理统计框架中涉及生成函数与相关推导思想（与CGF密切相关）。
• Patrick Billingsley：《Probability and Measure》——在概率论严谨表述中常借助相关变换与生成函数工具讨论分布性质。
• Amir Dembo & Ofer Zeitouni：《Large Deviations Techniques and Applications》——大偏差理论中频繁使用（对数）矩母函数/累积量生成函数来建立关键结果。
• Thomas M. Cover & Joy A. Thomas：《Elements of Information Theory》——在信息论与概率不等式、指数界等内容中常与CGF相关联使用。